T DIA fungsi logaritma DENGAN DASAR b adalah fungsi
y = log b x .
b biasanya lebih banyak dari 1 (meskipun hanya perlu lebih besar dari 0 dan tidak sama dengan 1). Fungsi ini didefinisikan untuk semua x > 0.Berikut adalah grafik untuk setiap basis b .
Perhatikan hal berikut:
• Untuk dasar apapun, x -intercept adalah 1. Mengapa?
Untuk melihat jawabannya, melewati mouse Anda ke daerah berwarna.
Untuk menutupi jawabannya lagi, klik "Refresh" ("Reload").
Untuk menutupi jawabannya lagi, klik "Refresh" ("Reload").
• Grafik melalui titik ( b , 1). Mengapa?
Logaritma dari dasar adalah 1. log b b = 1.
| • | Grafik di bawah x -sumbu - logaritma adalah negatif - untuk |
| 0 < x <1. | |
| Yang nomor adalah mereka yang memiliki logaritma negatif? | |
| • | Fungsi ini didefinisikan hanya untuk nilai-nilai positif dari x . |
| log b (-4), misalnya, tidak masuk akal. Sejak b selalu positif, tidak ada kekuatan b dapat menghasilkan angka negatif. | |
• Negatif y -axis adalah asimtot vertikal (Topik 18).
Contoh 1. Terjemahan dari sumbu . Berikut adalah grafiklogaritma natural , y = ln x (Topik 20).
Dan di sini adalah grafik dari y = ln ( x - 2) - yang merupakan perusahaan penerjemahan 2 unit ke kanan.
Para x -intercept telah pindah dari 1 sampai 3. Dan asimtot vertikal telah bergerak dari 0 sampai 2.
Masalah 1. Buatlah sketsa grafik y = ln ( x + 3).
Ini adalah terjemahan 3 unit ke kiri. Para x -intercept telah bergerak dari 1 sampai -2. Dan asimtot vertikal telah bergerak dari 0 sampai -3.
Eksponensial fungsi
log b y = x berarti b x = y .
Dengan kata lain, sesuai dengan setiap fungsi logaritma dengan basis bada eksponensial fungsi dengan basis b :
y = b x .
Ini didefinisikan untuk setiap bilangan real x . Berikut ini adalah grafiknya:
Ada dua hal penting yang perlu diperhatikan:
• The y -intercept adalah di (0, 1). Sebab, b 0 = 1.
• Negatif x -axis adalah asimtot horizontal. Sebab, bila x adalah angka negatif besar - misalnya b -10.000 - maka y adalah bilangan positif yang sangat kecil.
Soal 2.
a) Misalkan f ( x ) = e x . Menulis fungsi f (- x ).
f ( -x ) = e - x
Para argumen x diganti dengan - x .
b) Apa hubungan antara grafik y = e x dan grafik b) dari y = e - x ?
c) Buatlah sketsa grafik y = e - x .
Invers hubungan
Fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik dengan basis b adalah invers.
Karena dalam setiap basis b :
i ) b log b x = x ,
dan
ii ) log b b x = x .
Aturan i ) mewujudkan definisi dari sebuah logaritma: log b x adalaheksponen yang b harus dinaikkan untuk menghasilkan x .
Peraturan ii ) kita lihat di Topik sebelumnya .
Sekarang, mari
f ( x ) = b x dan g ( x ) = log b x .
Kemudian Peraturan i ) adalah f ( g ( x )) = x .
Dan Peraturan ii ) adalah g ( f ( x )) = x .
Aturan-aturan ini memenuhi definisi dari sepasang invers fungsi (Topik 19). Oleh karena itu untuk setiap basis b , fungsi
f ( x ) = b x dan g ( x ) = log b x
adalah invers.
Masalah 3. Mengevaluasi berikut.
| a) log 2 2 5 | = 5 | b) log 10 6 . 2 | = 6 .2 | c) Dalam e x + 1 | = x + 1 | ||
| d) 2 log 25 | = 5 | e) 10 log 100 | = 100 | f) e ln ( x - 5) | = x - 5 | ||
Masalah 4.
a) Apa fungsi invers dari y = ln x ?
y = e x .
b) Misalkan f ( x ) = ln x dan g ( x ) = e x , dan menunjukkan bahwa fdan g memuaskan b) hubungan terbalik .
f ( g ( x )) = ln e x = x ,
g ( f ( x )) = e ln x = x .
Berikut adalah grafik dari y = e x dan y = ln x :
Seperti semua pasangan fungsi invers, grafik mereka simetris terhadap garis y = x . (Lihat Topik 19 .)
Soal 5. Evaluasi ln e ARccOS (-1) .
Dalam e ARccOS (-1) = ARccOS (-1) = π .
"Sudut yang cosinus adalah -1 adalah π . "
Lihat Topik 19 dari Trigonometri.
Eksponensial dan logaritma persamaan
. Contoh 2 Memecahkan persamaan ini untuk x :
5 x + 1 = 625
Solusi . Untuk "melepaskan" x + 1 dari eksponen, mengambil fungsi invers - logaritma dengan basis 5 - kedua belah pihak. Ekuivalen, tulisbentuk logaritmik (Topik 20).
| log 5 5> x + 1 | = | log 5 625 | |
| x + 1 | = | log 5 625 | |
| x + 1 | = | 4 | |
| x | = | 3. | |
. Contoh 3 Selesaikan untuk x :
2 x - 4 = 3 x
Solusi . Kami dapat mengambil log dari kedua belah pihak baik dengan basis 2 atau dasar 3. Mari kita gunakan basis 2:
| log 2 2 x - 4 | = | log 2 3 x | |
| x - 4 | = | x log 2 3, menurut Hukum ke-3 | |
| x - x log 2 3 | = | 4 | |
| x (1 - log 2 3) | = | 4 | |
| x | = | 4 1 - log 2 3 | |
log 2 3 adalah beberapa nomor. Persamaan terpecahkan.
Masalah 6. Selesaikan untuk x :
| 2 x - 5 | = | 32 | |
| log 2 2 x - 5 | = | log 2 32 | |
| x - 5 | = | 5 | |
| x | = | 10 | |
Soal 7. Selesaikan untuk x . Solusinya dapat dinyatakan sebagai logaritma suatu.
10 3 x - 1 = 2 2 x + 1
| log 10 3 x - 1 | = | log 2 2 x + 1 | |
| 3 x - 1 | = | (2 x + 1) log 2 | |
| 3 x - 1 | = | 2 x log 2 + log 2 | |
| 3 x - 2 x log 2 | = | 1 + log 2 | |
| x (3 - 2 log 2) | = | 1 + log 2 | |
| x | = | 1 + log 2 3 - 2 log 2 | |
Soal 8. Selesaikan untuk x :
| e dosa x | = | 1 | |
| Dalam e dosa x | = | ln 1 | |
| dosa x | = | 0 | |
| x adalah sudut radian yang sinus adalah 0: | |||
| x | = | 0. | |
. Contoh 4 Selesaikan untuk x :
log 5 (2 x + 3) = 3
Solusi. Untuk "bebas" argumen logaritma, mengambil fungsi invers - 5x - kedua belah pihak. Artinya, biarkan masing-masing pihak menjadi eksponen dengan basis 5. Ekuivalen, tulis bentuk eksponensial .
| 2 x + 3 | = | 5 3 | |
| 2 x | = | 125-3 | |
| 2 x | = | 122 | |
| x | = | 61 | |
Soal 9. Selesaikan untuk x :
| log 4 (3 x - 5) | = | 0 |
| Jika kita membiarkan setiap sisi menjadi eksponen dengan basis 4, maka | ||
| 3 x - 5 | = | 4 0 = 1 |
| 3 x | = | 6 |
| x | = | 2 |
Soal 10. Selesaikan untuk x :
| log 2 ( x ² + 7) | = | 4 |
| x ² + 7 | = | 2 4 = 16 |
| x ² | = | 16-7 = 9 |
| x | = | ± 3 |
. Contoh 5 Selesaikan untuk x :
log (2 x + 1) = log 11
Solusi . Jika kita membiarkan setiap sisi menjadi eksponen dengan 10 sebagai dasar, maka menurut hubungan terbalik:
| 2 x + 1 | = | 11. |
| Itu berarti | ||
| x | = | 5. |
Masalah 11. Selesaikan untuk x :
ln (5 x - 1) = ln (2 x + 8).
Jika kita membiarkan setiap sisi menjadi eksponen dengan basis e, maka
| 5 x - 1 | = | 2 x + 8 |
| 3 x | = | 9 |
| x | = | 3. |
Membuat satu logaritma dari jumlah yang
Contoh 6. Gunakan hukum logaritma (Topik 20) untuk menulis berikut ini sebagai salah satu logaritma.
log x + log y - 2 log z .
| Solusi . log x + log y - 2 log z | = | log | xy - log z ² |
| = | log | xy z ² | |
. Soal 12 Menulis sebagai salah satu logaritma:
k log x + m log y - n log z
. Soal 13 Menulis sebagai salah satu logaritma:
log (2 x - 8) - log ( x ² - 16).
| log (2 x - 8) - log ( x ² - 16) | = | log | 2 x - 8 x ² - 16 |
| = | log | 2 ( x - 4) ( x - 4) ( x + 4) | |
| = | log | 2 x + 4 | |
Contoh 7. Melalui Peraturan i di atas -
n = log b b n ,
- Kita dapat menulis nomor apapun sebagai logaritma dalam basis apapun.
Sebagai contoh,
| 7 | = | log 2 2 7 |
| 5.9 | = | log 3 3 5 . 9 |
| t | = | Dalam e t |
| 3 | = | log 1000 |
Soal 14.
| a) | 2 = ln e ² | b) | 1 = ln e |
. Contoh 8 Menulis berikut sebagai salah satu logaritma:
log b x + n
| Solusi. | log b x + n | = | log b x + log b b n |
| = | log b xb n | ||
. Soal 15 Menulis sebagai salah satu logaritma:
log 2 + 3
| log 2 + 3 | = | log 2 + log 10 3 |
| = | log 2 × 10 3 | |
| = | log 2000 | |
1 comments:
izin minta materinya ya mba
Post a Comment