Wednesday, February 15, 2012

1 Bilangan Prima,Komposit, dan Kuadrat


Yupss.. Di sini kita akan membahas mengenai beberapa bilangan khusus:
1. bilangan prima dan komposit
2. bilangan kuadrat.

Bilangan Prima dan Komposit
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Dengan perkataan lain, bilangan prima hanya mempunyai 2 faktor. Misalnya:2,3,5,7,11,.... Bilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor disebut bilangan komposit (majemuk).

Teorema Eratosthenes:
Untuk setiap bilangan komposit n, pasti ada bilangan prima p dimana p https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzFMkLzyowxWiqhQ-hIynepgTW2qz-5zeeBIGNxpafO5VPUx1flZFe1afGyixst87rVww-hB6VCk2EkXux7tlerUkQZ3J1cqwiwrv2E-EUDrwM5Jb1BvhTjqEB6F-Q399S5aYC2dvaWe4/s400/1.gif\sqrt{\text{n}}sehingga p |n.
Teorema ini dapat digunakan untuk mempermudah dalam mengecek suatu bilangan itu prima atau komposit.

Contoh Soal 1:
Tentukan bilangan-blangan berikut merupakan bilangan prima atau komposit:
a. 191
b. 323
c. 599

Jawab:
a. Bilangan prima yang https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzFMkLzyowxWiqhQ-hIynepgTW2qz-5zeeBIGNxpafO5VPUx1flZFe1afGyixst87rVww-hB6VCk2EkXux7tlerUkQZ3J1cqwiwrv2E-EUDrwM5Jb1BvhTjqEB6F-Q399S5aYC2dvaWe4/s400/1.gif\sqrt{\text{191}}adalah 2,3,5,7,11,13. Karena tidak ada dari bilangan-bilangan prima 2,3,5,7,11,13 yang dapat membagi 191, maka 191 merupakan bilangan PRIMA.
b. Bilangan prima yang https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzFMkLzyowxWiqhQ-hIynepgTW2qz-5zeeBIGNxpafO5VPUx1flZFe1afGyixst87rVww-hB6VCk2EkXux7tlerUkQZ3J1cqwiwrv2E-EUDrwM5Jb1BvhTjqEB6F-Q399S5aYC2dvaWe4/s400/1.gif\sqrt{\text{323}}adalah 2,3,5,7,11,13, dan 17.. Karena 17 |323, maka 323 adalah bilangan KOMPOSIT.
c. Bilangan prima yang https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzFMkLzyowxWiqhQ-hIynepgTW2qz-5zeeBIGNxpafO5VPUx1flZFe1afGyixst87rVww-hB6VCk2EkXux7tlerUkQZ3J1cqwiwrv2E-EUDrwM5Jb1BvhTjqEB6F-Q399S5aYC2dvaWe4/s400/1.gif\sqrt{\text{599}}adalah 2,3,5,7,11,13,17,19,dan 23. Karena tidak ada dari bilangan-bilangan prima 2,3,5,7,11,13,17,19, dan 23 yang dapat membagi 599, maka 599 merupakan bilangan PRIMA.

Bilangan Kuadrat
Ada tiga hal penting yang perlu diketahui tentang bilangan kuadrat:
  1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0,1,4,5,6, dan 9.. (coba perhatikan angka terakhir mulai dari 12,22,32, hingga 92).
  2. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4, maka sisanya 0 atau 1 (gunakan konsep modulo)
  3. Jika p bilangan prima dan p | n2 maka p2 | n2.
Ini adalah dasar teori bilangan.. Jika konsep ini sudah dikuasai, soal teori bilangan apapun sesungguhnya dapat dikerjakan.. http://us.i1.yimg.com/us.yimg.com/i/mesg/emoticons7/16.gif

Any question ???


Thursday, February 9, 2012

1 Logaritma dan eksponensial FUNGSI Logaritma dan Eksponensial Fungsi

DIA fungsi logaritma DENGAN DASAR b adalah fungsi

y  = log b x .
b biasanya lebih banyak dari 1 (meskipun hanya perlu lebih besar dari 0 dan tidak sama dengan 1). Fungsi ini didefinisikan untuk semua x  > 0.Berikut adalah grafik untuk setiap basis b .
Perhatikan hal berikut:
• Untuk dasar apapun, x -intercept adalah 1. Mengapa?
Untuk melihat jawabannya, melewati mouse Anda ke daerah berwarna.
Untuk menutupi jawabannya lagi, klik "Refresh" ("Reload").
Para logaritma dari 1 adalah 0.   y = log b 1 = 0.
• Grafik melalui titik ( b , 1). Mengapa?
Logaritma dari dasar adalah 1. log b b = 1.
•  Grafik di bawah x -sumbu - logaritma adalah negatif - untuk
0 <  x  <1.
Yang nomor adalah mereka yang memiliki logaritma negatif?

•  Fungsi ini didefinisikan hanya untuk nilai-nilai positif dari x .
log b (-4), misalnya, tidak masuk akal. Sejak b selalu positif, tidak ada kekuatan b dapat menghasilkan angka negatif.

• Para berbagai fungsi adalah semua bilangan real.

• Negatif y -axis adalah asimtot vertikal (Topik 18).
Contoh 1.   Terjemahan dari sumbu .    Berikut adalah grafiklogaritma natural ,   y = ln x  (Topik 20).
Dan di sini adalah grafik dari   y = ln ( x - 2) - yang merupakan perusahaan penerjemahan 2 unit ke kanan.
Para x -intercept telah pindah dari 1 sampai 3. Dan asimtot vertikal telah bergerak dari 0 sampai 2.
Masalah 1.    Buatlah sketsa grafik y = ln ( x + 3).
Ini adalah terjemahan 3 unit ke kiri. Para x -intercept telah bergerak dari 1 sampai -2. Dan asimtot vertikal telah bergerak dari 0 sampai -3.

Eksponensial fungsi


log b y = x   berarti   x = y .
Dengan kata lain, sesuai dengan setiap fungsi logaritma dengan basis bada eksponensial fungsi dengan basis b :
y  =   x .
Ini didefinisikan untuk setiap bilangan real x . Berikut ini adalah grafiknya:
Ada dua hal penting yang perlu diperhatikan:
• The y -intercept adalah di (0, 1). Sebab, 0 = 1.
• Negatif x -axis adalah asimtot horizontal. Sebab, bila x adalah angka negatif besar - misalnya -10.000 - maka y adalah bilangan positif yang sangat kecil.
Soal 2.
a) Misalkan f ( x ) = x . Menulis fungsi f (- x ).
f ( -x ) =   x
Para argumen x diganti dengan - x .
b) Apa hubungan antara grafik   y = x   dan grafik b)    dari   y = x ?
y = -x adalah refleksi terhadap y sumbu  dari y = x .
c) Buatlah sketsa grafik y = x .


Invers hubungan
Fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik dengan basis b adalah invers.


Karena dalam setiap basis b :

i )    b log b x = x ,
dan
ii ) log b b x = x .

Aturan i ) mewujudkan definisi dari sebuah logaritma: log b x adalaheksponen yang b harus dinaikkan untuk menghasilkan x .

Peraturan ii ) kita lihat di Topik sebelumnya .
Sekarang, mari
f ( x ) = x   dan   g ( x ) = log b x .
Kemudian Peraturan i ) adalah   f ( g ( x )) =  x .
Dan Peraturan ii ) adalah   g ( f ( x )) =  x .
Aturan-aturan ini memenuhi definisi dari sepasang invers fungsi (Topik 19). Oleh karena itu untuk setiap basis b , fungsi
f ( x ) = x   dan   g ( x ) = log b x
adalah invers.
Masalah 3.    Mengevaluasi berikut.
   a) log 2 2 5 = 5    b) log 10 . 2 = 6 .   c) Dalam x + 1 =  x + 1 
   d)   log 25 = 5    e)   10 log 100 = 100    f)   ln ( x - 5) =  x - 5 
Masalah 4.  
a) Apa fungsi invers dari   y = ln x ?
y = x .
b) Misalkan   f ( x ) = ln x   dan   g ( x ) = x , dan menunjukkan bahwa fdan g memuaskan b)   hubungan terbalik .
f ( g ( x )) = ln x  =  x ,
g ( f ( x )) =  ln x  =  x .
Berikut adalah grafik dari   y = x   dan   y = ln x :
Seperti semua pasangan fungsi invers, grafik mereka simetris terhadap garis   y = x .  (Lihat Topik 19 .)
Soal 5.    Evaluasi ln ARccOS (-1) .
Dalam ARccOS (-1) = ARccOS (-1) = Ï€ .
"Sudut yang cosinus adalah -1 adalah Ï€ . "
Lihat Topik 19 dari Trigonometri.

Eksponensial dan logaritma persamaan
. Contoh 2    Memecahkan persamaan ini untuk x :
x + 1 = 625


log 5 5> x + 1  =  log 5 625
x + 1  =  log 5 625
x + 1  =  4
x  =  3.
. Contoh 3    Selesaikan untuk x :
x - 4  = 3 x
 Solusi . Kami dapat mengambil log dari kedua belah pihak baik dengan basis 2 atau dasar 3. Mari kita gunakan basis 2:
log 2 2 x - 4  =  log 2 3 x
x - 4  =  x log 2 3, menurut Hukum ke-3
x - x log 2 3  =  4
x (1 - log 2 3)  =  4
x  =         4      
1 - log 2 3
log 2 3 adalah beberapa nomor. Persamaan terpecahkan.
Masalah 6.    Selesaikan untuk x :
x - 5  =  32
log 2 2 x - 5  =  log 2 32
x - 5  =  5
x  =  10
Soal 7.    Selesaikan untuk x . Solusinya dapat dinyatakan sebagai logaritma suatu.
10 x - 1  = 2 x + 1
log 10 x - 1  =  log 2 x + 1
x - 1  =  (2 x + 1) log 2
x - 1  =  x log 2 + log 2
x - 2 x log 2  =  1 + log 2
x (3 - 2 log 2)  =  1 + log 2
x  =   1 + log 2 
3 - 2 log 2
Soal 8.    Selesaikan untuk x :
dosa x  =  1
Dalam dosa x  =  ln 1
dosa x  =  0
x adalah sudut radian yang sinus adalah 0:
x  =  0.
. Contoh 4    Selesaikan untuk x :
log 5 (2 x + 3) = 3      
Solusi.    Untuk "bebas" argumen logaritma, mengambil fungsi invers - 5x - kedua belah pihak. Artinya, biarkan masing-masing pihak menjadi eksponen dengan basis 5. Ekuivalen, tulis bentuk eksponensial .
x + 3  = 3
x  =  125-3
x  =  122
x  =  61
Soal 9.    Selesaikan untuk x :
log 4 (3 x - 5)  =  0
     Jika kita membiarkan setiap sisi menjadi eksponen dengan basis 4, maka
x - 5  =  0   = 1
x  =  6
x  =  2
Soal 10.    Selesaikan untuk x :
log 2 ( x ² + 7)  =  4
x ² + 7  =  4   = 16
x ²  =  16-7 = 9
x  =  ± 3
. Contoh 5    Selesaikan untuk x :
log (2 x + 1) = log 11
Solusi . Jika kita membiarkan setiap sisi menjadi eksponen dengan 10 sebagai dasar, maka menurut hubungan terbalik:
x + 1=11.
Itu berarti
x=5.
Masalah 11.    Selesaikan untuk x :
ln (5 x - 1) = ln (2 x + 8).
Jika kita membiarkan setiap sisi menjadi eksponen dengan basis e, maka
x - 1  =  x + 8
x  =  9
x  =  3.

Membuat satu logaritma dari jumlah yang

Contoh 6.    Gunakan hukum logaritma (Topik 20) untuk menulis berikut ini sebagai salah satu logaritma.

log x  + log y  - 2 log z .
  Solusi . log x  + log y  - 2 log z  =  log xy  - log z ²
  =  log xy
z ²
. Soal 12    Menulis sebagai salah satu logaritma:
k log x  +  m log y  -  n log z
. Soal 13    Menulis sebagai salah satu logaritma:
log (2 x - 8) - log ( x ² - 16).
log (2 x - 8) - log ( x ² - 16)  =  log x - 8 
x ² - 16
  =  log      2 ( x - 4)    
x - 4) ( x + 4)
  =  log     2    
x + 4
Contoh 7.    Melalui Peraturan i di atas -
n  = log b b n ,
- Kita dapat menulis nomor apapun sebagai logaritma dalam basis apapun.
Sebagai contoh,
7  =  log 2 2 7
5.9  =  log 3 3 . 9
t  =  Dalam t
3  =  log 1000
Soal 14.   
   a)  2 = ln e ²b)  1 = ln  e
. Contoh 8    Menulis berikut sebagai salah satu logaritma:
log b x  +   n
  Solusi.log b x  +   n  =  log b x  + log b b n
  =  log b xb n
. Soal 15    Menulis sebagai salah satu logaritma:
log 2 + 3
log 2 + 3  =  log 2 + log 10 3
  =  log 2 × 10 3
  =  log 2000